Subject: Re: "This Cantor is Killing Me"[?] [alé alé alef! e la conta delle pecore ...] Date: Fri, 22 Aug 2008 17:07:26 GMT From: L Organization: [Infostrada] Newsgroups: it.cultura.filosofia.moderato "Marco V." wrote: > TESI: il teorema cantoriano sulla sussistenza di una corrispondenza > biunivoca tra R^n ed R, consente di falsificare il metodo diagonale come > metodo in grado di costruire un numerale che non può mai risultare incluso > in una successione di numerali la quale sia stata posta, per ipotesi, come > successione in grado di enumerare tutti i numeri reali. > [Questo metodo diagonale è proprio il metodo con cui Cantor dimostra (per lo > meno in un suo lavoro) la non-numerabilità dei reali. Sì che la TESI > asserisce che tale dimostrazione non è valida come dimostrazione della > non-numerabilità dei reali]. > > Questo qui sopra è il giro di parole per spiegare di che cosa si sta > discutendo in questo thread. Il contenuto espresso da questo giro di parole > lo potremmo sicuramente "formalizzare". Ma tale formalizzazione non > aggiungerebbe o toglierebbe alcunché a ciò di cui si sta discutendo. > > Un saluto, > > Marco No, la formalizzazione, o meglio, la forma, è anche uno strumento per sapere di cosa sia la sostanza, l'essenza. Io non sono per la posizione di Mc Luan. Ossia che il mezzo sia anche il contenuto. Ma la forma quando non raggiunge l'essenza è solo a causa dell'attività, magari involontaria, di mascheramento, pur essa interna ai formalismi. Nei problemi di grande complessità (proprio per evitare i fenomeni di mask) la metalinguistica non è un accessorio rinunciabile. Quindi avventuriamoci al metalinguaggio della matematica: 1) Considero sufficiente il tuo sforzo di esprimere una tesi e non un dubbio, come era nel caso di Loris. 2) Naturalmente -secondo me- Loris aveva una tesi, ed era che "Cantor fosse in errore". 3) Però bisogna dire: a) quale fosse la tesi esatta di Loris, al posto della tesi di Cantor, b) la dimostrazione Ora ci provo io: : - ) Ip : Siano i numeri naturali la seguente collezione che indicheremo con N: N = {1, 2, 3, 4 ... } Ip : Siano i numeri razionali la seguente collezione che indicheremo con Q: Q = {tutti quei numeri ottenibili dai naturali con le 4 operazioni: somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione} Ossia tutti quelli della seguente tabella -- a1 = 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ... a2 = 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ... a3 = 3/1 3/1 3/3 3/4 3/5 ... .... -- Etichettiamola A(t) a1 = a11(t1) a12(t3) a13(t4) ... a2 = a21(t2) a22(t5) a23() ... a3 = a31(t6) a32() a33() ... .... -- Ora proviamo che la matrice (o tabella) è in corrispondenza biunivoca con N: a11(t1)=1/1 a21(t2)=2/1 a12(t3)=1/2 a13(t4)=1/3 a23(t5)=2/2 a31(t6)=3/1 a41(t7)=4/1 .... -- Ora vediamo la dimostrazione di Cantor sul fatto che "non vi sarebbe corrispondenza biunivoca con N se la tabella contenesse i Reali", ossia i Razionali + Irrazionali (dove dicasi irrazionali i numeri ottenibili da operazioni del tipo radice quadrata di 2 = 2^(1/2)= 1,41421356 ...) Una dimostrazione corretta è al link seguente: http://www.sciacchitano.it/Diagonalizzazzione%20secondo%20Cantor.pdf -- Proviamo a spostarci sul modo di ragionare di Cantor, seguendo l'esposizione del link, che riassumo: "Argomenti -secondo Cantor- sul perché i Reali = Razionali + Irrazionali non sarebbero descrivibili da N": La tabella di Cantor, già la conosciamo, è quella qui sopra che io ho chiamato A(t) e ripeto di seguito: A(t): a1 = a11(t1) a12(t3) a13(t4) ... a2 = a21(t2) a22(t5) a23() ... a3 = a31(t6) a32() a33() ... .... La notazione di Cantor non introduce il valore "ti" Ma tale notazione ci consente di evidenziare l'esplorazione di A(t). (senza doverla indicare con le freccette). Ossia si può "visitare" la tabella andando prima in t1, poi in t2, etc. Il metodo procede con la "tecnica" dell' assurdo: Si mostrerà -secondo Cantor- che se noi immaginassimo che A(t) sia con elementi in R ciò sarebbe assurdo. Vediamo se è vero con gli argomenti di Cantor: Valutiamo se vi possa essere però un elemento di R che non sia descrivibile in A. Come dovrebbe essere fatto tale elemento? -- Ip : sia beta= 0,b1 b2 b3 b4 ... dove (attenzione è questo il passaggio più delicato) bi=f(aii) f(aii) = 2 if aii =/= 2 f(aii) = 1 if aii = 2 -- Quindi beta è trovato per costruzione su A(t). Vediamo cosa succede se cominciamo a costruire una tabella al finito e costruiamo beta: Sia A(t) ad esempio: a1 = 0,_1_ 2 3 ... a2 = 0,4 _5_ 6 ... a3 = 0,6 7 _8_ ... .... Dove le sottolineature (ad esempio "_1_" = a11) indicano gli elementi diagonali nella matrice qui sopra. Calcoliamo beta: beta= 0,b1 b2 b3 ... b1=f(a11)=f(1)=2 b2=f(a22)=f(5)=2 b3=f(a33)=f(8)=2 Ok, in A(t) non vi è una riga -per ora- che sia beta'(con 3 cifre) = 0,2 2 2 ... Però potrei metterla in a4 Sia A(t) ad esempio': a1 = 0,_1_ 2 3 ... a2 = 0,4 _5_ 6 ... a3 = 0,6 7 _8_ ... a4 = 0,2 2 2 _2_... Ricalcoliamo beta, poiché ci manca b4 b4 = f(a44) = f(2) = 1 beta''(con 4 cifre) = 0,2 2 2 1 ... =/= a4 = 0,2 2 2 2 ... Quindi -secondo Cantor- se ne conclude che io potrei realizzare A(t) con la seguente rappresentazione, ossia mettere beta, ad esempio in a5 a1 = 0,_1_ 2 3 ... a2 = 0,4 _5_ 6 ... a3 = 0,6 7 _8_ ... a4 = 0,2 2 2 _2_... a5 = 0,2 2 2 1 In tal caso avrei che beta esiste in A(t) ma per *insufficienza di rappresentazione*. Infatti se decidessi chi è a55, *comunque lo assumessi con un valore esplicito*, poiché beta è costruita su A(t), allora, avrei che la proiezione (beta) la potrei rendere dissimile *per costruzione* su A(t). Riproviamo: Sia A(t) ad esempio'': a1 = 0,_1_ 2 3 ... a2 = 0,4 _5_ 6 ... a3 = 0,6 7 _8_ ... a4 = 0,2 2 2 _2_... a5 = 0,2 2 2 1 _8_ dove b5 = f(a55) = f(8) = 2 da cui beta'''(con 5 cifre) = 0, 2 2 2 1 2 = beta''(con 4 cifre) = 0, 2 2 2 1 = beta'(con 3 cifre) = 0, 2 2 2 che è diverso -beta'''- da a5=0,2 2 2 1 8 -- Critiche al metodo di Cantor: La tabella A(t) può contenere qualunque numero per ipotesi. E' chiaro che se dico -a Pierino- dimmi un numero -> vedrai che io te ne dico uno più grande! : - ) Pierino: "tutto il cucuzzaro" Basterà dire -come si giocava da bambini- *tutto il cucuzzaro + 1* Tale è la dimostrazione di Cantor. Se gli si da la possibilità di "parlare per secondo" (a Cantor) ci sarà sempre un numero che nella nostra tabella -in ipotesi che sia costruita al finito- consentirà di far arrivare qualcuno e dire "rilancio l'offerta .. il quadro di Van Gogh .. è un milione di euro +1". Ossia di realizzare un'ipotesi che "per costruzione" sia dissimile. Quindi -a mio avviso- Cantor dimostra che "_data_ una collezione", sia A(t), si può sempre trovare una collezione dissimile da quella data e quindi non cardinalizzabile semplicemente sulla "collezione A(t)". E' un risultato vero, quello di Cantor, nelle ipotesi in cui vale, (limitatamente al fatto di dire che vi è una cardinalizzazione maggiore di alef(0)) NON in generale, ossia "NON è vero che sia impossibile una rappresentazione esterna ad alef(0)!" Ma vediamo come ciò va interpretato: =========================================================== Questo significa -forse- che lo spazio complementare a A(t) non è cardinalizzabile in generale? =========================================================== Secondo me l'affermazione precedente è falsa, e giustamente Loris intuisce che grazie agli spazi complementari (che egli accenna con l'esempio delle tabelle complementari) si può coprire ben più che alef(0). Infatti *esiste un bel teorema* sulla possibilità di misurare la *cardinalità del continuo*! http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalità_del_continuo Vediamo di discuterlo: Viene affermato che P(N) = 2^alef(0)= c Ossia il numero delle parti (P) di un insieme (N) ha una cardinalità maggiore dell'insieme originario [la cardinalità di N è detta alef(0)] Si noti che per partizione "propria" si deve intendere quanto segue: http://it.wikipedia.org/wiki/Partizione_(teoria_degli_insiemi) Ossia la scomposizione avviene tra insiemi disgiunti. Facciamo un esempio al finito: Quanto vale la cardinalità di B = [a,b,c] in questo caso? Se B ha n elementi (qui n=3) 2^n = 8 le partizioni sono: http://www.dm.uniba.it/~lazzo/precorso2004_05/13sett.pdf vedi pag 3/16 P(B)={{0,0,0}, {a,0,0}, {0,b,0}, {0,0,c}, {a,b,0}, {a,0,c}, {0,b,c}, {a,b,c}} oppure equivalentemente P(B) = {{0}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} Infatti con gli insiemi si deve poter ricostruire B con la relativa unione U (1) [a,b,c] U [0,0,0] (2) (3) [0,b,c] U [a,0,0] (4) (5) [0,0,c] U [a,b,0] (6) (7) [a,0,c] U [0,b,0] (8) Quindi -per estrapolazione (ma vi sono trattazioni rigorose sulla dimostrazione della cardinalità del continuo)- come al finito -per esempio con B- si dice che con un insieme B con cardinalità n si ha una card. di P(B)=2^n Così se "card.di N={1,2,3,...}=alef(0)" Allora (passando al limite) card. di P(N) = 2^[alef(0)] Quindi non è che non esista la rappresentazione e la relativa cardinalizzazione esterna all'ipotesi che A(t) sia rappresentato dai Razionali! Bensì che tale rappresentazione -> esiste -> è cardinalizzabile -> è sul continuo -> vale 2^(alef(0)) ripeto: card. di P(N) = 2^[alef(0)] : - ) cvd. PS x Loris: Sia Omega l'insieme che si scomponga in Omega = A(t) U A'(t) La cardinalità di Omega, grazie al fatto che è la somma di due parti, è ben maggiore alla card. di A(t) Essendo A'(t) lo spazio complementare ad A(t) rispetto a Omega, quindi rispettando -la composizione A(t) U A'(t)- la ipotesi di disgiunzione che debbano avere le partizioni. A(t) può ben essere la tua tabella binaria A'(t) può ben essere lo spazio complementare di ciò che non fosse rappresentato in A(t). Dovremmo avere trovato *solo* una dimostrazione alternativa che la cardinalità del continuo è 2^(alef(0)).