Subject: Re: "This Cantor is Killing Me" [sul concetto di metodo]
Date: Tue, 26 Aug 2008 11:01:23 GMT
From: L <parmenide_2002@yahoo.it>
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Le notazioni seguenti non sono per Davide, specificatamente,
ma per fare il punto sulle notazioni "ben formate" e sul concetto
di metodo.

Anche perché notavo una certa difficoltà di comunicazioni di
informazioni
tra Davide e Loris, e per aiutare la discussione, magari estesa a un
pubblico più vasto:

Davide Pioggia wrote:
>
> Loris Dalla Rosa ha scritto:
>
> >> 2) oppure non si può dire che gli elementi di A sono n, cioè per ogni n
è
> >> falso affermare che gli elementi di A sono n, il che non significa
> >> ovviamente che il numero è "qualunque"; no, è che proprio esso non è
> >> definito.
>
> > e non e' questo il caso, perche' la dimostrazione di Cantor e'
> > "costruttiva" e necessariamente deve fondarsi su un numero finito di
> > elementi.
>
> Eh, no, è qui il punto.
>
> Adesso ti faccio vedere come funziona il teorema di Cantor "senza numeri".
>
> Dunque, sia dato un insieme A, poi un insieme B, che per semplicità
possiamo
> considerare costituito da due soli elementi, che indichiamo con "+" e "-"
> (sì, lo so, ho nominato il numero due, ma è assolutamente inessenziale,
> perché è A che ci interessa, e potrei farlo anche con B qualunque).
>
> Bada bene che sulla "lunghezza di A" non ho detto nulla. Può essere
> costituito da un certo numero n di elementi, oppure può anche darsi che
> proprio non abbia senso chiedersi "quanti elementi ha A". È una nozione
che
> proprio non ho intenzione di usare. È per questo che dicevo di volermi
> "allenare all'uso del maglio", per quando sarebbe veramente servito.
> Ed ora mi serve veramente.
>
> Dunque, abbiamo 'sto insieme A, e anche l'insieme AxB, che è l'insieme di
> tutte le coppie ordinate costituite da un elemento di A e un elemento di
B.
> Cioè:
>
> per ogni a in A e per ogni b in B, (a, b) appartiene ad AxB
>
> (come vedi uso solo il quantificatore universale, e non pretendo di dire
> "quanti sono" gli elementi di A, o quelli di AxB).
>
> Ora considero tutti i sottoinsiemi di AxB fatti in un certo modo, e per la
> precisione considero quei sottoinsiemi f tali che
>
> per ogni a in A esiste uno e un solo b in B tale che (a, b) appartiene ad
f
>
> Questi sottoinsiemi di AxB li chiamo "funzioni da A e B".
>
> Prendo allora l'insieme di tutte le funzioni da A e B, e lo chiamo B^A.

Sia

A = {a1, a2}
B = {b1, b2}

AxB = {(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2)}

f: A -> B (f è una funzione, ossia la proiezione(implicazione grazie a
regola) di A che crea B)

f(a) = b

In letteratura si trova -in vero-

f(x) = y

dove f(x) vede (quando si sostituiscono dei valori) "x=ai" appartenere
ad A = {a1, a2}
dove y vede (quando si sostituiscono dei valori) "y=bj" appartenere a B
= {b1, b2}

Si noti che x è un valore generico che assume un valore solo dopo aver
scelto nell'intervallo (range in cui può assumere valore)

tra i valori di A = {a1, a2}

Così pure y è un valore generico che assume un valore solo dopo aver
scelto nell'intervallo (range in cui può assumere valore)

tra i valori di B = {b1, b2}

Da cui la coppia (ai,bj) originata da f è un sottoinsieme di AxB =
{tutte le possibili coppie di A e B}

Però x si usa -in genere- quando il valore -in f(x)=y- è ancora
incognito, mentre la lettera "a" solo nelle notazioni in cui si è scelto
un valore per x, ossia se dico y=f(x) è y=x^2 solo se scelgo (per
esempio) x=2 -allora- x diviene un valore tale che y=2^2=4 tal che si
potrebbe "parametricizzare" y=a^2 intendendo che "a" non è su un range
ma un "preciso" valore.

Quante f distinte esistono (nelle notazioni ora introdotte)?

Chiamiamo tale insieme di tutte le funzioni ff

f1(a1)=b1 (sul piano y=f(x)=x, posto a1=1, a2=2, b1=1, b2=2)
f1(a2)=b2

f2(a1)=b2 (sul piano y=f(x)=2)
f2(a2)=b2

f3(a1)=b1 (sul piano y=f(x)=1)
f3(a2)=b1

f4(a1)=b2 (sul piano y=f(x)=-x+3)
f4(a2)=b1

Allora

ff = {f1, f2, f3, f4} = in ip piano {y=x; y=2; y=1; y=-x+3}

che dimensione (dim) ha ff?

dim ff = dim B^(dim A)= 2^2 = 4

f -quindi- realizza una proiezione da A -> B

da cui ff=B^A oppure che f appartiene all'insieme di tutte le funzioni
ff=B^A

Dove B^A va inteso come etichetta di dominio e codominio di f e non
elevazione a potenza tra insiemi,

anche se ( e ciò giustifica -in parte- la notazione):

dim ff = dim B^(dim A)= 2^2 = 4

Con A=(a1,a2,a3) e B=(b1,b2) dim ff = dim B^(dim A)= 2^3 = 8 funzioni,
etc.

Accenno allo sviluppo con A=(a1,a2,a3) e B=(b1,b2):

f1(a1) = b1
f1(a2) = b1
f1(a3) = b1

f2(a1) = b1
f2(a2) = b2
f2(a3) = b1

....

f8(a1) = b2
f8(a2) = b2
f8(a3) = b2

>
> Ora ipotizzo (per ora lo ipotizzo senza aggiungere altro, e solo in
seguito
> salterà fuori una contraddizione, la quale mi costringerà a dire che la
mia
> ipotesi era da respingere - dico questo perché così non sono nemmeno
> costretto a parlare di "assurdo") ipotizzo, dicevo, che esista una
> corrispondenza biunivoca da A ad AxB, cioè una "funzione funzionale"
> F tale che:
>
> per ogni funzione f in B^A esiste uno e un solo a in A tale che f = F(a).

Ossia ipotizzo che

se

A = {a1,a2}
B = {b1,b2}
AxB = {(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2)}
ff=A^B={f1, f2, f3, f4}

«dato f in A^B esiste uno e un solo "a" in A tale che f = F(a)»

ossia
f1 = F(a1)
f2 = F(a2)

>
> Costruisco allora una funzione dg da A a B così definita:
>
> per ogni a in A, dg(a) = F(a)(a)

Ossia
«per ogni a in A, dg(a) = F(a)(a)»

(1) dg(a1) = F(a1)(a1)
(2) dg(a2) = F(a2)(a2)

>
> Dopodiché definisco la funzione differenza D da B a B:
>
> D(+) = -
> D(-) = +
>
> e compongo questa funzione con la funzione dg per ottenere la funzione
adg,
> così definita:
>
> per ogni a in A, adg(a) = D(dg(a))

***********************

(3b) adg(a) = D(dg(a))

***********************

(3) adg(a1) = D(dg(a1))
(4) adg(a2) = D(dg(a2))

(4a) B = {b1=+, b2=-}
(4b) D(b1=+) = -
(4c) D(b2=-) = +

>
> Ora sfrutto il fatto che la F realizza una corrispondenza biunivoca, per
cui
> deve esistere un certo a0 in A tale che:
>
> adg = F(a0)
>
> da cui segue che
>
> per ogni a in A, adg(a) = F(a0)(a)

(5) adg(a1) = F(a0)(a1)
(6) adg(a2) = F(a0)(a2)

>
> Se è vero per ogni a, allora è vero in particolare per a0, per cui si ha
>
> adg(a0) = F(a0)(a0)
>
> ma per definizione è anche

Ossia dalla (1), (2)

E' vero che esiste almeno un a0 tale che

(7) F(a0)(a0) = dg(a0)

>
> F(a0)(a0) = dg(a0)
>
> da cui segue che

Ossia dalla (7) lasciando dg (a secondo termine) e sostituendo F(a0)(a0)
con la (5) e (6)

(8)* adg(a0) = dg(a0)

>
> adg(a0) = dg(a0)
>
> e siccome
>
> adg(a0) = D(dg(a0))

(3b) adg(a0) = D(dg(a0))

>
> allora
>
> dg(a0) = D(dg(a0))

Ma la (8)* e la (3b) sono in contraddizione,

Poiché la 3b

(3b) adg(a0) = D(dg(a0))

crea uno spazio complementare applicano l'operatore D sull'insieme {-,+}

mentre la (8)*

(8)* adg(a0) = dg(a0)

vede al primo termine la stessa espressione della (3b) ma al secondo
termine non più D su dg(a0)

ma semplicemente dg(a0) e quindi a sua volta lo spazio complementare
della (3b)

>
> da cui
>
> dg(a0) <> dg(a0)
>
> che è la negazione del principio di identità, e come tale è leggermente
> contraddittoria :-)
>
> Come vedi non ho mai nominato la "lunghezza di A", e mi sono limitato ad
> usare i quantitficatori.
>
> Dunque o io ho sbagliato ad usare i quantificatori, oppure chi voglia
> contestare la dimostrazione di Cantor deve contestare l'impiego dei
> quantificatori per un generico insieme A. Ma allora il problema diventa un
> problema di logica, e per tirare giù Cantor bisogna tirare giù buona parte
> della logica moderna.
>
> --
> Saluti.
> D.

Commento:

Da cosa è motivata questa contraddizione?

Dalle corrispondenze sulle proiezioni che -come abbiamo visto
esplicitando il vero spazio delle funzioni- sono state ipotizzate e
essere associate in modo malformato.

Altre malformazioni sono usare l'argomento di un funzionale tra
parentesi sia per etichetta che per funzione di funzione o di variabile.

Ad esempio un funzionale di y si scrive:

F(y) = F(f(x)) = F{f[x(t)]}

Ossia se ad esempio

x(t) = t^2

la funzione può essere una moltiplicazione per la costante 3

f(x(t)) = 3t^2

Il funzionale può essere una moltiplicazione della f(x) per se stessa.

F(f(x(t)))= (3t^2)(3t^2)

Mentre nel citare strutture tipo:

dg(a) = F(a)(a)

Si commistionano etichette per le funzioni di funzioni, ossia i
funzionali, con la stessa notazione degli argomenti di una funzione.

Ora -tornando a noi- a mio avviso, non serve mostrare che sullo spazio
della collezione di tutte le funzioni associabili a un insieme di valori
dati vi sono contraddizioni, se non si utilizzano correttamente le
associazioni sulle proiezioni possibili.

Perché la contraddizione (o l'assurdo) è motivato dal *carattere
malformato delle ipotesi*.

Diverso è il discorso sull'argomento diagonale di Cantor.

A quanto risulta (a me) Cantor fa (o meglio faceva) questo ragionamento:

Si scelga una collezione di valori in una tabella bidimensionale

Nel senso che ciascuna riga sia una collezione comunque estesa.

Ebbene se questo numero di righe e colonne è comunque esteso ed è
originato dai razionali io (dice Cantor) sono in grado si dimostrarvi
che è numerabile, ossia so creare una associazione biunivoca con i
naturali, infatti la tabella può essere scritta così:

1/1 1/2 1/3 ..

2/1 2/2 2/3 ..

3/1 3/2 3/3 ..

e io (dice Cantor) sono in grado di visitarla tutta (e trovare una
corrispondenza con N={1,2,3, ...n} scelto n comunque grande).

Mentre se ipotizzassimo che nei posti aij *non* vi fossero i razionali
la tabella non sarebbe numerabile, poiché comunque _voi_ la riempiate io
sono in grado di dimostravi che vi sono numeri che io posso costruire
sulla Vs tabella e che dico non essere nella Vs tabella, e ciò perché i
razionali non descriverebbero -per esempio- gli irrazionali (ad esempio
il numero = rad (2)).

Ora Cantor dimentica di dire alcuni fatti importanti.

Gli irrazionali e i razionali -se agiamo al finito- non sono
distinguibili, poiché dato un irrazionale generato da radice quadrata di
2 _*ma di un numero finito di cifre*_ io (in questo caso Lino) sono in
grado di descriverlo con un razionale, per lo stesso numero di cifre,
ossia un numero originato dalla divisione di un numeratore e un
denominatore interi opportunamente lunghi, però al finito.

Esempio:
rad quadrata di 2( con 4 cifre)=1,4142

Ho il seguente sistema

num/den = 1,4142

ip: num naturale
ip: den naturale

Scelgo den=20000

ottengo

num = 1,4142*(den) =1,4142*20000=28284

28284/20000=1,4142

cvd.

Inoltre come collocazione in tabella, sapendo che il numeratore = riga,
il denominatore= colonna:

a(riga=28284,colonna=20000=a(i,j)=1,4142

nella mia (di Lino) tabella dei numeri razionali che però descrive (al
finito) anche quelli irrazionali.

Quindi _l'unica cosa che ha dimostrato Cantor_ è che i razionali sono
numerabili.

La numerazione di cardinalità superiori ai razionali non è dimostrabile
con tabelle bidimensionali (se non mostrando che è assurdo), né con uno
studio di funzioni o funzionali, poiché necessita l'introduzione del
concetto di *partizione di un insieme*.

Forse nessuno se ne sarà accorto, ma ciò ho fatto nel mio scorso post.

cit:
Subject:
             Re: "This Cantor is Killing Me"[?] [alé alé alef! e la
conta delle pecore ...]
        Date:
             Sun, 24 Aug 2008 10:39:17 GMT
       From:
             L <parmenide_2002@yahoo.it>
 Organization:
             [Infostrada]
 Newsgroups:
             it.cultura.filosofia.moderato
  References:
             1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14
, 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22

Ossia ho mostrato _con una analisi al finito_ come lo studio delle
partizioni al finito, e poi lo studio del limite di tali partizioni,
porta alla giustificazione del concetto della serie degli alef.

Infine, nel concetto di rappresentazione, uno spazio complementare -a
uno dato- copre _per definizione e per logica_ ogni altro ente rispetto
a l'insieme che contenga sia la rappresentazione data che lo spazio
complementare associato.

Quindi se si investiga sugli spazi *esterni* allo spazio dei razionali è
elementare usare il *concetto di partizione e di spazi complementari*,
senza però pretendere di dire cose definitive poiché le collezioni
avranno copertura solo "rispetto a che".

E ciò è una questione di metodo.

Saluti,

L