Subject: Re: Cantor (ripresa di "This Cantor is Killing Me")[I robot?] Date: Sun, 31 Aug 2008 15:26:14 GMT From: L Organization: [Infostrada] Newsgroups: it.cultura.filosofia.moderato Loris Dalla Rosa wrote: > Penso di aver capito la tua impostazione, espressa cosi' chiaramente. > Essa relegherebbe a questione secondaria la distinzione tra approccio > intensivo ed estensivo alle classi. Del resto anche Russell e' propenso a > credere che dal punto di vista logico tale differenza sia superabile (*). > Mi piace anche il tuo suggerimento di affrontare il problema da un punto di > vista puramente "meccanico". Il perche' del mio gradimento apparira' chiaro > alla fine del post, rientrando in pieno nella questione del procedimento > diagonale di Cantor. Ma prima di questo occorre qualche osservazione > connessa alla tua impostazione. Esperimento di Loris: > Mi hai stimolato ad ideare un piccolo > esperimento mentale, cosi' concepito: > Ammettiamo di aver costruito un robot R capace di distinguere le mele dai > fiori (del tuo esempio). Implementiamogli la regola di raccogliere mele e > fiori a 3 a 3. Sulle due condizioni esposte, nessun problema. Come riuscire, > con la stessa logica, a implementargli una regola che gli permetta di > "raccogliere" numeri? Anzittutto sara' necessario che sappia distinguere i > numeri, che pero' sono "atti di contare", niente di visibile quanto un fiore > o una mela. Sara' allora necessario che ad ogni "atto" del contare sia > associata un'etichetta, riconoscibile come un "ente" che rimanda a un > "operatore" che svolge l'atto effettivo di contare. R non sara' in grado di > assolvere il compito di "raccogliere" numeri, se non in base a una sua > rappresentazione interna dei numeri in base alle etichette che li > rappresentano, cioe' enti ben concreti, che sono tuttavia astratti dalla > pratica effettiva del contare. > E ora sara' molto chiaro perche' questa tua impostazione mi piace molto, in > relazione alla questione Cantor. > Infatti, data (per assurdo) una numerazione dell'insieme dei numeri reali, > il procedimento diagonale e' riproducibile da R in modo del tutto meccanico: > si tratta solo di individuare un tratto finito (costituito, solo per > semplicita' del sistema binario, da una sequenza di etichette "0" e "1") del > diagonale e applicare la regola di rimpiazzamento che costruisce > l'antidiagonale. Ma R e' anche in grado di riprodurre meccanicamente e molto > semplicemente la successione dei numeri naturali (sempre costituita da > sequenze di etichette "0" e "1"), che per qualsiasi lunghezza > dell'antidiagonale comprende un corrispondente numero naturale. Ma se a > qualsiasi numerale antidiagonale corrisponde un numerale dei naturali, > allora l'insieme dei numeri reali sarebbe numerabile. Devo dunque dedurne > che il procedimento diagonale non riesce a dimostrare cio' che intendeva > dimostrare? > Cari saluti, > Loris Ho detto il mio parere su ciò. Lo riformulo sinteticamente: Cantor dimostra che vi può esser corrispondenza tra i razionali e i naturali. Fin qui mi pare che nessuno abbia avanzato dubbi. Ma diciamo due parole per chi segue il discorso ora senza dover andare a cercarsi gli estremi. Si tratta di notare che una matrice bi-dimensionale può raccogliere una collezione del tipo: a11 a12 a13 .. a21 a22 a23 .. a33 a32 a33 .. ... dove gli elementi di questo insieme siano 1/1 1/2 1/3 .. 2/1 2/2 2/3 .. ... ed in particolare il modo di visitare la matrice sia a1 = a11(t1) a12(t3) a13(t4) ... a2 = a21(t2) a22(t5) a23() ... a3 = a31(t6) a32() a33() ... Da cui a11(t1)=1/1 a21(t2)=2/1 a12(t3)=1/2 a13(t4)=1/3 a23(t5)=2/2 a31(t6)=3/1 a41(t7)=4/1 ... Ora Cantor afferma che non siano numerabili più che i razionali, ossia tale corrispondenza non possa essere estesa fuori della collezione dei razionali. Ciò perché esiste -nella di Cantor dimostrazione- il presupposto che comunque noi costruiamo (al finito) A(t) si può dire che 1) possono essere trovati dei numeri esterni alla A(t) costruita al finito 2) ciò dimostrerebbe che non sia possibile collezionare tali "numeri esterni" ai razionali essendo già i naturali tutti impegnati in corrispondenza biunivoca con i razionali. A tali conclusioni tu -a mio avviso giustamente- hai obiettato che sono -come dire- illazioni "deboli", in quanto potrebbe anche darsi che si riesca a numerare ciò che è esterno alla tabella di Cantor. Argomenti contro Cantor: ++ on ++ Facciamo il caso che vi sia "un solo numero irrazionale esterno alla tabella di Cantor" che volessimo contabilizzare. Per esempio radice quadrata di 2. Forse che in naturali essendo infiniti, non ci consentirebbero di tenero conto di tutti i razionali e del solo irrazionale radice di 2? Ma certo che lo potremmo collezionare e numerare! Infatti radice di 2 -per essere utilizzato- andrebbe troncato. Quindi ricadrebbe nella rappresentazione di un razionale, che -per il teorema di Cantor- appartiene ad una collezione contabile! ++ off ++ Argomenti a favore di Cantor: ++ on ++ Io -a mia volta- ho detto che è vera la dimostrazione di Cantor, ma *non per le tesi di Cantor*, ma per la questione di "tutto il cucuzzaro". (Dimmi un numero il più grande possibile Pierino! Pierino: "tutto il cucuzzaro" Lino: "tutto il cucuzzaro + 1"). Ossia vi sono dei numeri "esterni ai razionali e non si sa quanti siano" perché il fatto di avere trovato un metodo per contare i razionali non ci dice *nulla* di cosa sia esterno alla spazio di quella collezione! ( a meno di valutare come proiettare gli spazi esterni su quelli numerabili, di cui una soluzione è il troncamento ). Riassumendo: a) Ha ragione Cantor a dire che i razionali sono contabili b) Ha ragione Cantor a dire che gli irrazionali siano incontabili, ma solo nell'ipotesi di rappresentarli in astratto, ossia che siano descritti (ciascuno) da serie di lunghezza infinita. c) Ha torto Cantor a dire che gli irrazionali siano incontabili al finito, poiché -al finito- gli irrazionali sono indistinguibili da i numeri razionali che possono essere utilizzati al loro posto nella rappresentazione troncata (non commettendo errore nella rappresentazione tra razionali e irrazionali -> se al finito). ++ off ++ Il punto c determina lo stress di non vedere le implicazioni della dimostrazione di Cantor. Infatti la tabella che sia costruita al finito, offre senzaltro l'idea di poter coprire qualunque rappresentazione magari con opportuna multiplazione tabellare. Se non che, la tabella degli irrazionali è già in partenza costruita "all'infinito" avendo una potenza di espressione ineguagliabile per costruzione, se si accetta al finito una collezione di numeri (irrazionali) che ha infinite cifre (per ciascun irrazionale). Quindi inseguire Cantor nella sua briscola con numeri infiniti -come del resto consigliava anche Davide- è sconsigliabilissimo. L'unica cosa razionale è usare numeri razionali! (*1) : - ) Se non fossero razionali staremmo parlando di follia, se pretendessimo -al finito- di mettere in un recipiente limitato una quantità illimitata. Ma il numero i(de)finito -di qf- è maneggiabile solo come extrapolazione non presente -con completezza- in t0, ma come andamento. Fortunatamente la mia cultura di ingegneria se ne ride delle tesi di Cantor, poiché gli risponde: "A cosa mi serve?" Se gli irrazionali sono una regola per estrapolare un numero potenzialmente infinito di cifre di precisione, nessuno sia così pazzo da credere che tale precisione sia rappresentabile -al finito- con un numero di cifre finito, senza commettere un errore. Con "l'errare è umano ma il perseverare è diabolico", allora dovremmo mettere *una pietra tombale* -> su Cantor e sulla sua pretesa di usare cifre infinite, se non come congettura da troncare, se usata "su oggetti osservabili" (compresi i robot e il software e hardware). E' stato comunque un argomento di cui vi ringrazio dello scambio di idee, molto stimolante .. Saluti, L (*1) Lapalissiano direbbe qualcuno! che sia razionale usare i razionali! Ma voglio aggiungere, perché non bisogna farsi mancare nessun confort: "più il concetto di serie, che però rimane astratto, come rappresentazione utilizzabile, se non si specifica il troncamento".